Väi­tös­kir­ja­tut­ki­mus: Min­kä muo­toi­nen on pil­vi tai lumihiutale?

Kel­lo­lais­läh­töi­nen ja Hau­ki­pu­taan lukios­ta yli­op­pi­laak­si 2015 kir­joit­ta­nut FM Alek­si Pyö­rä­lä väit­te­lee toh­to­rik­si mate­ma­tii­kan oppiai­nees­sa Oulun yli­opis­tos­sa lau­an­tai­na 14.10. Väi­tök­sen aihe on “Dyna­mii­kas­ta geo­met­ri­aan itseaf­fii­neil­la jou­koil­la ja mitoilla”.

Alek­si Pyörälä.

Kou­lu­geo­met­rias­sa opi­taan nimeä­mään lukui­sia yksin­ker­tai­sia geo­met­ri­sia muo­to­ja, kuten ympy­rät, janat ja moni­kul­miot. Näi­tä muo­to­ja käyt­tä­mäl­lä luon­non todel­lis­ten muo­to­jen kuvai­le­mi­nen on kui­ten­kin mah­do­ton­ta: Pil­vet eivät ole pal­lo­ja, man­te­reet eivät ole ympy­röi­tä eivät­kä sala­mat piir­rä suo­ria vii­vo­ja. Näi­den todel­lis­ten muo­to­jen kuvai­le­mi­seen on kehit­ty­nyt mate­ma­tii­kan ala, jota kut­su­taan fraktaaligeometriaksi.

Frak­taa­li­geo­met­rian tar­koi­tus on luo­da yhte­näi­nen kie­li, jota voi­tai­siin käyt­tää sel­lais­ten luon­nos­sa näky­vien muo­to­jen kuvai­luun ja ver­tai­luun, joi­ta jou­tui­sim­me muu­ten kuvai­le­maan vain moni­mut­kai­sik­si tai muo­dot­to­mik­si. Täl­lai­sia muo­to­ja kut­su­taan ylei­ses­ti frak­taa­leik­si, ja esi­merk­ke­jä sel­lai­sis­ta ovat esi­mer­kik­si man­te­rei­den ran­ni­kot, lumi­hiu­ta­leet ja ihmi­sen keuhkot.

Kos­ka frak­taa­lit eivät muis­tu­ta mitään perin­tei­sen geo­met­rian muo­to­ja, myös geo­met­ris­ten suu­rei­den, kuten pituus, pin­ta-ala tai tila­vuus, las­ke­mi­nen täl­lai­sil­le muo­doil­le voi olla vai­ke­aa tai mahdotonta.

Väi­tös­kir­ja­tut­ki­muk­ses­saan Alek­si Pyö­rä­lä tut­ki sel­lai­sia frak­taa­lien omi­nai­suuk­sia, joi­den tun­te­mi­nen on usein vält­tä­mä­tön­tä sovel­lus­ten kan­nal­ta. Usein on esi­mer­kik­si oleel­lis­ta, että frak­taa­lin valo­ku­van frak­taa­liu­lot­tu­vuus on sama riip­pu­mat­ta suun­nas­ta, jos­ta kuva on otettu.

Esi­mer­kik­si Nor­jan ran­ni­kon pituu­dek­si on erääs­sä viran­omais­läh­tees­sä las­ket­tu noin 50 000 kilo­met­riä, ja toi­ses­sa yli 100 000 kilo­met­riä: Mitä tar­kem­paa satel­liit­ti­ku­vaa mit­tauk­ses­sa käy­te­tään, sitä suu­rem­pi pituus ran­ni­kol­le saa­daan. Täs­tä syys­tä frak­taa­lin kokoa on usein jär­ke­väm­pää mita­ta frak­taa­liu­lot­tu­vuu­den avulla.

Las­ke­mal­la kah­den sil­mä­mää­räi­ses­ti samal­ta näyt­tä­vät frak­taa­lin frak­taa­liu­lot­tu­vuus on mah­dol­lis­ta havai­ta huo­mat­ta­via ero­ja näi­den raken­tees­sa: Esi­mer­kik­si ihmi­sen keuh­koil­la poik­keuk­sel­li­sen pie­ni frak­taa­liu­lot­tu­vuus voi lää­ke­tie­teel­lis­ten tut­ki­mus­ten mukaan vii­ta­ta sai­rau­den aiheut­ta­miin rakennepoikkeamiin.

Toi­nen tär­keä omi­nai­suus on, että frak­taa­liin koh­dis­tu­vat satun­nai­set ja epä­oleel­li­set vää­ris­ty­mät eivät tuhoa sen raken­net­ta mer­kit­tä­väs­ti. Väi­tös­kir­ja­tut­ki­muk­ses­san Pyö­rä­lä var­mis­taa nämä ja mui­ta saman­kal­tai­sia omi­nai­suuk­sia useil­le sel­lai­sil­le frak­taa­leil­le, joil­le nii­tä ei aiem­min tun­net­tu. Tut­ki­muk­ses­saan hän ei kui­ten­kaan käsit­te­le kuvia ran­ni­kois­ta tai keuh­kois­ta, vaan frak­taa­lien ylei­siä mate­maat­ti­sia mal­le­ja, joi­ta voi­daan saman­ai­kai­ses­ti käyt­tää kuvaa­maan use­aa luon­nos­ta löy­ty­vää fraktaalia.

Alek­si Pyö­rä­län väi­tös­ti­lai­suu­des­sa Lin­nan­maan kam­puk­sel­la lau­an­tai­na kel­lo 12 vas­ta­väit­te­li­jä­nä on pro­fes­so­ri Ariel Rapa­port, Tech­nion – Israe­lin tek­nil­li­ses­tä kor­kea­kou­lus­ta ja kus­tok­se­na on dosent­ti Vil­le Suo­ma­la Oulun yli­opis­tos­ta. Hau­ki­pu­taa­lai­nen Suo­ma­la on toi­mi­nut myös väi­tös­kir­jan ohjaa­ja­na apu­lais­pro­fes­so­ri Meng Wun kans­sa.